biharmonic and polyharmonic deformation

Former-commit-id: 4f2cc06b3111d88ce154fc0505b4c3ebd4d01899

include/igl/harmonic.cpp

@@ -68,4 +68,5 @@ IGL_INLINE bool igl::harmonic(
 #ifdef IGL_STATIC_LIBRARY
 // Explicit template instanciation
 template bool igl::harmonic<Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1>, Eigen::Matrix<int, -1, -1, 0, -1, -1>, Eigen::Matrix<int, -1, 1, 0, -1, 1>, Eigen::Matrix<double, -1, 1, 0, -1, 1>, Eigen::Matrix<double, -1, 1, 0, -1, 1> >(Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1> > const&, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<int, -1, -1, 0, -1, -1> > const&, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<int, -1, 1, 0, -1, 1> > const&, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<double, -1, 1, 0, -1, 1> > const&, int, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<double, -1, 1, 0, -1, 1> >&); 
+template bool igl::harmonic<Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1>, Eigen::Matrix<int, -1, -1, 0, -1, -1>, Eigen::Matrix<int, -1, 1, 0, -1, 1>, Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1>, Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1> >(Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1> > const&, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<int, -1, -1, 0, -1, -1> > const&, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<int, -1, 1, 0, -1, 1> > const&, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1> > const&, int, Eigen::PlainObjectBase<Eigen::Matrix<double, -1, -1, 0, -1, -1> >&);
 #endif

tutorial/401_BiharmonicDeformation/CMakeLists.txt

@@ -0,0 +1,11 @@
+cmake_minimum_required(VERSION 2.6)
+project(401_BiharmonicDeformation)
+
+include("../CMakeLists.shared")
+
+set(SOURCES
+${PROJECT_SOURCE_DIR}/main.cpp
+)
+
+add_executable(${PROJECT_NAME}_bin ${SOURCES} ${SHARED_SOURCES})
+target_link_libraries(${PROJECT_NAME}_bin ${SHARED_LIBRARIES})

tutorial/401_BiharmonicDeformation/main.cpp

@@ -0,0 +1,124 @@
+#include <igl/colon.h>
+#include <igl/cotmatrix.h>
+#include <igl/harmonic.h>
+#include <igl/jet.h>
+#include <igl/min_quad_with_fixed.h>
+#include <igl/readOBJ.h>
+#include <igl/readDMAT.h>
+#include <igl/viewer/Viewer.h>
+#include <algorithm>
+#include <iostream>
+
+double bc_frac = 1.0;
+double bc_dir = -0.03;
+bool deformation_field = false;
+Eigen::MatrixXd V,U,V_bc,U_bc;
+Eigen::VectorXd Z;
+Eigen::MatrixXi F;
+Eigen::VectorXi b;
+
+bool pre_draw(igl::Viewer & viewer)
+{
+  using namespace Eigen;
+  // Determine boundary conditions
+  if(viewer.options.is_animating)
+  {
+    bc_frac += bc_dir;
+    bc_dir *= (bc_frac>=1.0 || bc_frac<=0.0?-1.0:1.0);
+  }
+
+  const MatrixXd U_bc_anim = V_bc+bc_frac*(U_bc-V_bc);
+  if(deformation_field)
+  {
+    MatrixXd D;
+    MatrixXd D_bc = U_bc_anim - V_bc;
+    igl::harmonic(V,F,b,D_bc,2,D);
+    U = V+D;
+  }else
+  {
+    igl::harmonic(V,F,b,U_bc_anim,2,U);
+  }
+  viewer.set_vertices(U);
+  viewer.compute_normals();
+  return false;
+}
+
+bool key_down(igl::Viewer &viewer, unsigned char key, int mods)
+{
+  switch(key)
+  {
+    case ' ':
+      viewer.options.is_animating = !viewer.options.is_animating;
+      break;
+    case 'D':
+    case 'd':
+      deformation_field = !deformation_field;
+      break;
+  }
+}
+
+int main(int argc, char *argv[])
+{
+  using namespace Eigen;
+  using namespace std;
+  igl::readOBJ("../shared/decimated-max.obj",V,F);
+  U=V;
+  // S(i) = j: j<0 (vertex i not in handle), j >= 0 (vertex i in handle j)
+  VectorXi S;
+  igl::readDMAT("../shared/decimated-max-selection.dmat",S);
+  igl::colon<int>(0,V.rows()-1,b);
+  b.conservativeResize(stable_partition( b.data(), b.data()+b.size(), 
+   [&S](int i)->bool{return S(i)>=0;})-b.data());
+
+  // Boundary conditions directly on deformed positions
+  U_bc.resize(b.size(),V.cols());
+  V_bc.resize(b.size(),V.cols());
+  for(int bi = 0;bi<b.size();bi++)
+  {
+    V_bc.row(bi) = V.row(b(bi));
+    switch(S(b(bi)))
+    {
+      case 0:
+        // Don't move handle 0
+        U_bc.row(bi) = V.row(b(bi));
+        break;
+      case 1:
+        // move handle 1 down
+        U_bc.row(bi) = V.row(b(bi)) + RowVector3d(0,-50,0);
+        break;
+      case 2:
+      default:
+        // move other handles forward
+        U_bc.row(bi) = V.row(b(bi)) + RowVector3d(0,0,-25);
+        break;
+    }
+  }
+
+  // Pseudo-color based on selection
+  MatrixXd C(F.rows(),3);
+  RowVector3d purple(80.0/255.0,64.0/255.0,255.0/255.0);
+  RowVector3d gold(255.0/255.0,228.0/255.0,58.0/255.0);
+  for(int f = 0;f<F.rows();f++)
+  {
+    if( S(F(f,0))>=0 && S(F(f,1))>=0 && S(F(f,2))>=0)
+    {
+      C.row(f) = purple;
+    }else
+    {
+      C.row(f) = gold;
+    }
+  }
+
+  // Plot the mesh with pseudocolors
+  igl::Viewer viewer;
+  viewer.set_mesh(U, F);
+  viewer.options.show_lines = false;
+  viewer.set_colors(C);
+  viewer.options.trackball_angle << 0,sqrt(2.0),0,sqrt(2.0);
+  viewer.options.trackball_angle.normalize();
+  viewer.callback_pre_draw = &pre_draw;
+  viewer.callback_key_down = &key_down;
+  //viewer.options.is_animating = true;
+  viewer.options.animation_max_fps = 30.;
+  viewer.launch();
+}

tutorial/images/max-biharmonic.jpg.REMOVED.git-id

@@ -0,0 +1 @@
+309580da7118bfd3ed60c3cdc3fc77bc0365cdde

tutorial/readme.md

@@ -817,32 +817,52 @@ deformation field and then recover the deformed positions:
 
 ```cpp
 // U_bc contains deformation of boundary vertices b
-D_bc = U_bc - slice(V,b,1);
+D_bc = U_bc - igl::slice(V,b,1);
 igl::harmonic(V,F,b,D_bc,2,D);
 U = V+D;
 ```
 
-
+![The `BiharmonicDeformation` example deforms a statue's head as a _biharmonic
+surface_ (top) and using a _biharmonic displacements_ (bottom).](images/max-biharmonic.jpg)
 
 #### Relationship to "differential coordinates" and Laplacian surface editing
+Biharmonic functions (whether positions or displacements) are solutions to the
+bi-Laplace equation, but also minimizers of the "Laplacian energy". For
+example, for displacements $\mathbf{d}$, the energy reads
+
+ $\int\limits_S \|\Delta \mathbf{d}\|^2 dA.$
+
+By linearity of the Laplace(-Beltrami) operator we can reexpress this energy in
+terms of the original positions $\mathbf{x}$ and the unknown positions
+$\mathbf{x}' = \mathbf{x} - \mathbf{d}$:
+
+ $\int\limits_S \|\Delta (\mathbf{x}' - \mathbf{x})\|^2 dA = \int\limits_S \|\Delta \mathbf{x}' - \Delta \mathbf{x})\|^2 dA.$
+
+In the early work of Sorkine et al., the quantities $\Delta \mathbf{x}'$ and
+$\Delta \mathbf{x}$ were dubbed "differential coordinates" [#sorkine_2004][].
+Their deformations (without linearized rotations) is thus equivalent to
+biharmonic deformation fields.
 
-k-harmonic deformation
+## Polyharmonic deformation
+We can generalize biharmonic deformation by considering different powers of
+the Laplacian, resulting in a series of PDEs of the form:
+
+ $\Delta^k \mathbf{d} = 0.$
+
+with $k\in{1,2,3,\dots}$. The choice of $k$ determines the level of continuity
+at the handles. In particular, $k=1$ implies $C^0$ at the boundary, $k=2$
+implies $C^1$, $k=3$ implies $C^2$ and in general $k$ implies $C^{k-1}$.
 
 ```cpp
 int k = 2;// or 1,3,4,...
 igl::harmonic(V,F,b,bc,k,Z);
 ```
 
-![The `BiharmonicDeformation` example deforms a flat domain (left) into a bump as a
+![The `PolyharmonicDeformation` example deforms a flat domain (left) into a bump as a
 solution to various $k$-harmonic PDEs.](images/bump-k-harmonic.jpg)
 
 [#botsch_2004]: Matrio Botsch and Leif Kobbelt. "An Intuitive Framework for
 Real-Time Freeform Modeling," 2004.
-[#meyer_2003]: Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder and Alan H.  Barr,
-"Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated
-2-Manifolds," 2003.
-[#pannozo_2010]: Daniele Pannozo, Enrico Puppo, Luigi Rocca,
-"Efficient Multi-scale Curvature and Crease Estimation," 2010.
 [#jacobson_thesis_2013]: Alec Jacobson,
 _Algorithms and Interfaces for Real-Time Deformation of 2D and 3D Shapes_,
 2013.
@@ -850,4 +870,11 @@ _Algorithms and Interfaces for Real-Time Deformation of 2D and 3D Shapes_,
 Zorin. "Mixed Finite Elements for Variational Surface Modeling," 2010.
 [#kazhdan_2012]: Michael Kazhdan, Jake Solomon, Mirela Ben-Chen,
 "Can Mean-Curvature Flow Be Made Non-Singular," 2012.
+[#meyer_2003]: Mark Meyer, Mathieu Desbrun, Peter Schröder and Alan H.  Barr,
+"Discrete Differential-Geometry Operators for Triangulated
+2-Manifolds," 2003.
+[#pannozo_2010]: Daniele Pannozo, Enrico Puppo, Luigi Rocca,
+"Efficient Multi-scale Curvature and Crease Estimation," 2010.
 [#rustamov_2011]: Raid M. Rustamov, "Multiscale Biharmonic Kernels", 2011.
+[#sorkine_2004]: Olga Sorkine, Yaron Lipman, Daniel Cohen-Or, Marc Alexa,
+Christian Rössl and Hans-Peter Seidel. "Laplacian Surface Editing," 2004.

tutorial/shared/decimated-max-selection.dmat

@@ -0,0 +1,5273 @@
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